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Hill Equation

Math

Der Hill-Equation-Block implementiert das klassische sigmoidale $E_{\text{max}}$ -Modell der Pharmakodynamik: Er wandelt eine Wirkstoffkonzentration am Wirkort (Effektort-Konzentration) in die hervorgerufene pharmakologische Wirkung um. In der Anästhesie dient dieses Modell beispielsweise zur Umrechnung der Propofol-Konzentration im Gehirn in den BIS-Index (Bispectral Index), ein Maß für die Narkosetiefe (ca. 93 im Wachzustand, 40–60 während einer Operation).

Die Kennlinie verläuft bei geringen Konzentrationen flach, weist um die halbmaximale Konzentration $EC_{50}$ einen steilen Abfall auf und geht bei hohen Konzentrationen in Sättigung über, wenn sämtliche Rezeptoren besetzt sind. Der Hill-Koeffizient $\gamma$ bestimmt, wie abrupt der Übergang von wach zu tief betäubt erfolgt. Der Block ist zustandslos; die zeitliche Konzentrationsdynamik (Pharmakokinetik) wird über vorgeschaltete Übertragungsfunktionen modelliert.

Mathematisches Modell

\text{occ} = \frac{C_e^{\gamma}}{EC_{50}^{\gamma} + C_e^{\gamma}}, \qquad E = E_0 - E_{max} \cdot \text{occ}

Wobei:

Ce (Eingang) die Wirkstoffkonzentration am Effektort ist (negative Werte werden als null behandelt).
occ (Ausgang Occ.) die Rezeptorbelegung zwischen 0 und 1 darstellt.
E (Ausgang Effect) das resultierende Wirkungssignal ist (z. B. BIS-Index).

Die Rezeptorbelegung wird im logarithmischen Raum berechnet, sodass steile Anstiege und hohe Konzentrationen numerisch stabil in Sättigung übergehen.

Ein- & Ausgänge

Direction	ID	Label	Typ	Status
→ In	`in1`	Ce	number	Required
← Out	`effect`	Effect	number	Output
← Out	`occupancy`	Occ.	number	Output

Parameter

Parameter	Label	Typ	Standardwert	Beschreibung
`e0`	Baseline (E0)	number	`93`	Effect at zero concentration, for example an awake BIS of 93
`emax`	Maximum Effect (Emax)	number	`93`	Largest possible drop from the baseline
`ec50`	EC50	number	`3.4`	Concentration giving half the maximum effect, in the unit of Ce
`gamma`	Hill Slope (γ)	number	`3`	Steepness of the curve: 1 is hyperbolic (Michaelis-Menten), above 1 sigmoidal

Anwendungsbeispiele

Propofol-Konzentration zur BIS-Narkosetiefe

Ein Plasmakonzentrationssprung auf 3,4 µg/ml gelangt über ein PT1-Glied 1/(10s+1) (Eliminationsrate $k_{e0}$ ) an den Wirkort. Der BIS-Index startet bei 93, verweilt kurz, fällt steil ab und schwingt stabil auf 46,5 ein.

Enzym-Liganden-Bindungskinetik

Simulation der sigmoidalen Sättigungskurve biologischer Rezeptoren bei steigender Ligandenkonzentration.

Hinweise & Best Practices

Parameteridentifikation: Die Standardparameter ( $E_0 = 93, E_{\text{max}} = 93, EC_{50} = 3.4, \gamma = 3$ ) dienen didaktischen Zwecken; klinische Modelle werden patientenindividuell angepasst.
Nichtlineare Regelverstärkung: Durch die ausgeprägte Nichtlinearität um $EC_{50}$ variiert die effektive Streckenverstärkung für geschlossene Regelkreise drastisch in Abhängigkeit vom Arbeitspunkt.