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Hill Equation

Math

Le bloc HillEquation implémente le modèle sigmoïde EmaxE_{\text{max}} de la pharmacodynamie : il convertit la concentration d'un médicament au site d'action (concentration effectrice) en l'effet pharmacologique produit. En anesthésie, il permet par exemple de traduire la concentration cérébrale de propofol en indice BIS (Bispectral Index), indicateur de la profondeur d'anesthésie qui vaut environ 93 à l'état éveillé et entre 40 et 60 au bloc opératoire.

La courbe de réponse est quasi plane aux faibles concentrations, très pentue au voisinage de la concentration semi-maximale EC50EC_{50}, puis sature aux concentrations élevées lorsque tous les récepteurs biologiques sont occupés. Le coefficient de Hill γ\gamma détermine la brutalité du passage de la vigilance à l'anesthésie profonde. Le bloc est sans mémoire (instantané) ; il convient de placer les transferts pharmacocinétiques en amont.

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Modèle Mathématique

occ=CeγEC50γ+Ceγ,E=E0−Emax⋅occ\text{occ} = \frac{C_e^{\gamma}}{EC_{50}^{\gamma} + C_e^{\gamma}}, \qquad E = E_0 - E_{max} \cdot \text{occ}

Où :

  • Ce (entrée) est la concentration au site d'action (les valeurs négatives sont ramenées à zéro).
  • occ (sortie Occ.) est la fraction d'occupation des récepteurs, comprise entre 0 et 1.
  • E (sortie Effect) est l'effet physiologique résultant (ex. score BIS).

L'occupation des récepteurs est évaluée dans le domaine logarithmique sous la forme 1 / (1 + (EC50/Ce)^γ) pour garantir une saturation propre sans débordement numérique.

Entrées & Sorties

Direction ID Label Type Status
→ In in1 Ce number Required
← Out effect Effect number Output
← Out occupancy Occ. number Output

Paramètres

Paramètres Label Type Défaut Description
e0 Baseline (E0) number 93 Effect at zero concentration, for example an awake BIS of 93
emax Maximum Effect (Emax) number 93 Largest possible drop from the baseline
ec50 EC50 number 3.4 Concentration giving half the maximum effect, in the unit of Ce
gamma Hill Slope (γ) number 3 Steepness of the curve: 1 is hyperbolic (Michaelis-Menten), above 1 sigmoidal

Exemples d'Utilisation

Concentration de propofol et indice BIS

Un échelon de concentration plasmatique à 3,4 µg/ml traverse un retard du premier ordre 1/(10s+1) modélisant la constante d'équilibration ke0k_{e0}. Le score BIS débute à 93, fléchit brièvement puis chute pour se stabiliser à 46,5.

Liaison récepteur-ligand en biochimie

Modélisation de la courbe dose-réponse sigmoïde lors de la saturation progressive de cibles enzymatiques.

Remarques & Bonnes Pratiques

  • Paramètres de calibration : Les valeurs par défaut (E0=93,Emax=93,EC50=3.4,γ=3E_0 = 93, E_{\text{max}} = 93, EC_{50} = 3.4, \gamma = 3) sont données à titre pédagogique ; les modèles cliniques sont identifiés par cohorte de patients.
  • Variation de gain : La très forte pente autour de EC50EC_{50} implique que le gain de boucle d'un asservissement varie fortement selon la zone de travail.

Composants Associés