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Hill Equation

Math

El bloque HillEquation implementa el clásico modelo sigmoidal EmaxE_{\text{max}} de la farmacodinámica: convierte la concentración de un fármaco en el sitio de acción (concentración en el biofase) en el efecto fisiológico resultante. En anestesiología se utiliza para transformar la concentración cerebral de propofol en el índice biespectral (BIS), una escala del nivel de sedación que oscila en torno a 93 en vigilia y entre 40 y 60 durante una intervención quirúrgica.

La curva presenta una respuesta prácticamente plana a bajas concentraciones, una transición empinada alrededor de la concentración semimáxima EC50EC_{50} y se satura a altas concentraciones al coparse la totalidad de los receptores biológicos. El exponente de Hill γ\gamma gobierna la rapidez con la que el paciente transita del estado de alerta a la anestesia profunda. El bloque es instantáneo y carece de memoria; los retardos de transporte y difusión (farmacocinética) deben modelarse aguas arriba.

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Modelo Matemático

occ=CeγEC50γ+Ceγ,E=E0−Emax⋅occ\text{occ} = \frac{C_e^{\gamma}}{EC_{50}^{\gamma} + C_e^{\gamma}}, \qquad E = E_0 - E_{max} \cdot \text{occ}

Donde:

  • Ce (entrada) es la concentración en el sitio de efecto (valores negativos se saturan a cero).
  • occ (salida Occ.) es la fracción de ocupación de receptores, acotada entre 0 y 1.
  • E (salida Effect) es el efecto fisiológico evaluado (ej. índice BIS).

La ocupación se calcula en escala logarítmica como 1 / (1 + (EC50/Ce)^γ), garantizando saturación suave sin desbordamiento numérico ante pendientes elevadas.

Entradas y Salidas

Direction ID Label Tipo Status
→ In in1 Ce number Required
← Out effect Effect number Output
← Out occupancy Occ. number Output

Parámetros

Parámetros Label Tipo Por defecto Descripción
e0 Baseline (E0) number 93 Effect at zero concentration, for example an awake BIS of 93
emax Maximum Effect (Emax) number 93 Largest possible drop from the baseline
ec50 EC50 number 3.4 Concentration giving half the maximum effect, in the unit of Ce
gamma Hill Slope (γ) number 3 Steepness of the curve: 1 is hyperbolic (Michaelis-Menten), above 1 sigmoidal

Ejemplos de Uso

Concentración de propofol y profundidad anestésica BIS

Un escalón de concentración plasmática a 3.4 µg/ml alcanza el sitio de acción a través de un retraso de primer orden 1/(10s+1) (tasa de equilibrio ke0k_{e0}). El índice BIS parte de 93, desciende con fuerte pendiente y se estabiliza en 46.5.

Curva dosis-respuesta de unión ligando-receptor

Modelado de la afinidad bioquímica en receptores farmacológicos en función del incremento de dosis.

Observaciones y Buenas Prácticas

  • Parámetros clínicos: Los valores predeterminados (E0=93,Emax=93,EC50=3.4,γ=3E_0 = 93, E_{\text{max}} = 93, EC_{50} = 3.4, \gamma = 3) son pedagógicos; la práctica biomédica requiere identificación individual por paciente.
  • Ganancia no lineal: Dada la alta pendiente en torno a EC50EC_{50}, la ganancia efectiva de un lazo cerrado cambia drásticamente en función de la zona de operación.

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