A-B-C-D

StateSpace

Continuous

Het StateSpace (toestandsruimte) blok implementeert een algemeen continu lineair tijd-invariant (LTI) multivariabel dynamisch systeem beschreven door de matrices $A, B, C, D$ :

x' = Ax + Bu    (toestandsvergelijking)
y  = Cx + Du    (uitgangsvergelijking)

Dit is de meest algemene en krachtige wiskundige vorm voor LTI-systemen en vormt het fundament van de moderne regeltechniek (modern control theory), multivariabele MIMO-systemen (Multiple Input Multiple Output), observator-ontwerp (Kalman-filters) en toestandsterugkoppeling (LQR/LQG).

Wiskundig Model

\begin{aligned} \dot{x}(t) &= A \, x(t) + B \, u(t) \\ y(t) &= C \, x(t) + D \, u(t) \end{aligned}

Waarbij:

$x(t) \in \mathbb{R}^n$ : toestandvector ( $n$ interne toestandsvariabelen)
$u(t) \in \mathbb{R}^m$ : ingangsvector ( $m$ ingangen)
$y(t) \in \mathbb{R}^p$ : uitgangsvector ( $p$ gemeten uitgangen)
$A$ : $n \times n$ systeem- / toestandsovergangsmatrix
$B$ : $n \times m$ ingangsmatrix
$C$ : $p \times n$ uitgangsmatrix
$D$ : $p \times m$ directe doorvoermatrix (feedthrough)

Ingangen & Uitgangen

Direction	ID	Label	Type	Status
→ In	`u`	Input(s)	number	Required
→ In	`reset`	Reset	number	Optional
← Out	`y`	Output(s)	number	Output

Parameters

Parameters	Label	Type	Standaard
`A`	A Matrix (state)	matrix	`-1`
`B`	B Matrix (input)	matrix	`1`
`C`	C Matrix (output)	matrix	`1`
`D`	D Matrix (feedthrough)	vector	`0`
`initialState`	Initial State (comma-sep)	vector	`0`

Gebruiksvoorbeelden

Massa-Veer-Demper Systeem

Positie $x_1$ en snelheid $x_2$ met massa $m=1$ , demper $c=2$ , veer $k=100$ :

A: [0 1; -100 -2]
B: [0; 1]
C: [1 0]
D: 0

Krachtinvoer $F(t) \to \text{StateSpace} \to \text{Positie } y(t)$ .

Opmerkingen & Best Practices

MIMO Ondersteuning: Ondersteunt meerdere in- en uitgangen.
Eigenwaarden & Stabiliteit: Het systeem is asymptotisch stabiel als alle reële delen van de eigenwaarden van $A$ strikt negatief zijn ( $\text{Re}(\lambda_i) < 0$ ).
Solver Compatibiliteit: Werkt uitstekend met RK4 en TR-BDF2 voor stijve toestandssystemen.

Gerelateerde Componenten

TransferFunction: Representatie in het Laplace $s$ -domein
DiscreteStateSpace: Discrete toestandsruimte voor digitale computers en microcontrollers
Integrator: Elementaire enkele toestand