A-B-C-D

StateSpace

Continuous

Le bloc StateSpace (représentation d'état) implémente un système dynamique linéaire continu invariant dans le temps (LTI) multivariable décrit par les matrices $A, B, C, D$ :

x' = Ax + Bu    (équation d'état)
y  = Cx + Du    (équation de sortie)

Il s'agit de la formulation mathématique la plus générale pour les systèmes LTI, constituant le socle de l'automatique moderne, des systèmes multivariables MIMO (Multiple Input Multiple Output), de la synthèse d'observateurs (filtre de Kalman) et de la commande par retour d'état (LQR/LQG).

Modèle Mathématique

\begin{aligned} \dot{x}(t) &= A \, x(t) + B \, u(t) \\ y(t) &= C \, x(t) + D \, u(t) \end{aligned}

Où :

$x(t) \in \mathbb{R}^n$ : vecteur d'état ( $n$ variables d'état)
$u(t) \in \mathbb{R}^m$ : vecteur d'entrée ( $m$ entrées)
$y(t) \in \mathbb{R}^p$ : vecteur de sortie ( $p$ sorties mesurables)
$A$ : matrice d'état $n \times n$ (matrice dynamique)
$B$ : matrice de commande $n \times m$ (matrice d'entrée)
$C$ : matrice d'observation $p \times n$ (matrice de sortie)
$D$ : matrice de transmission directe $p \times m$ (action directe)

Entrées & Sorties

Direction	ID	Label	Type	Status
→ In	`u`	Input(s)	number	Required
→ In	`reset`	Reset	number	Optional
← Out	`y`	Output(s)	number	Output

Paramètres

Paramètres	Label	Type	Défaut
`A`	A Matrix (state)	matrix	`-1`
`B`	B Matrix (input)	matrix	`1`
`C`	C Matrix (output)	matrix	`1`
`D`	D Matrix (feedthrough)	vector	`0`
`initialState`	Initial State (comma-sep)	vector	`0`

Exemples d'Utilisation

Système Masse-Ressort-Amortisseur

Système du second ordre avec masse $m=1$ , amortisseur $c=2$ , ressort $k=100$ :

Variables d'état : $x_1$ (position), $x_2$ (vitesse).

A: [0 1; -100 -2]
B: [0; 1]
C: [1 0]
D: 0

Force appliquée $F(t) \to \text{StateSpace} \to \text{Position } y(t)$ .

Remarques & Bonnes Pratiques

Support MIMO : Prise en charge complète des systèmes à entrées multiples et sorties multiples.
Stabilité : Le système est asymptotiquement stable si toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle strictement négative ( $\text{Re}(\lambda_i) < 0$ ).
Cohérence des Dimensions : Les dimensions des matrices doivent respecter rigoureusement $A: n\times n, B: n\times m, C: p\times n, D: p\times m$ , sous peine de produire une sortie nulle.

Composants Associés

TransferFunction : Représentation fréquentielle dans le domaine de Laplace
DiscreteStateSpace : Représentation d'état discrète pour régulateurs numériques
Integrator : Bloc intégrateur unitaire d'état