A-B-C-D (z)

Discrete State-Space

Discrete

Le bloc Discrete State-Space implémente un système linéaire en représentation d'état à temps discret. À chaque instant d'échantillonnage, il fait évoluer le vecteur d'état interne à l'aide des équations de récurrence, puis calcule la sortie sous la forme d'une combinaison linéaire de l'état actuel et de l'entrée. Le bloc est équivalent à la fonction de transfert matricielle dans le domaine en z H(z) = C(zI - A)^-1 B + D.

Les applications typiques incluent l'implémentation de modèles de procédés discrets, la dynamique d'observateurs ou d'estimateurs, les filtres numériques prédéfinis exprimés sous forme d'état, et tout système linéaire discrétisé à partir d'une conception en temps continu via un bloqueur d'ordre zéro (ZOH) ou la méthode de Tustin.

Modèle Mathématique

\begin{aligned} x[k+1] &= Ax[k] + Bu[k] \\ y[k] &= Cx[k] + Du[k] \end{aligned}

Où :

x[k] — vecteur d'état au pas k (longueur n, ordre du système)
u[k] — vecteur d'entrée au pas k (correspond au nombre de colonnes de B)
y[k] — vecteur de sortie au pas k (correspond au nombre de lignes de C)
A — matrice d'état (transition) n×n
B — matrice d'entrée (commande) n×m
C — matrice de sortie (observation) p×n
D — matrice d'action directe (feedthrough) p×m
k — indice de temps discret ; temps réel = k · sampleTime

Entrées & Sorties

Direction	ID	Label	Type	Status
→ In	`u`	Input(s)	number	Required
← Out	`y`	Output(s)	number	Output

Paramètres

Paramètres	Label	Type	Défaut
`A`	A Matrix	vector	`0.9`
`B`	B Matrix	vector	`1`
`C`	C Matrix	vector	`1`
`D`	D Matrix	vector	`0`
`initialState`	Initial State	vector	`0`
`sampleTime`	Sample Time	number	`0.01`

Exemples d'Utilisation

Filtre passe-bas du premier ordre à 100 Hz

Un passe-bas discret du premier ordre avec un pôle en z = 0.9 et un gain statique unitaire :

Step → DiscreteStateSpace → Display
       A=0.9  B=0.1  C=1  D=0  T=0.01s

Système du second ordre (double intégrateur, Euler)

Double intégrateur discrétisé avec T = 0.01 s :

Force → DiscreteStateSpace → Position
        A=[1 0.01; 0 1]  B=[0.00005; 0.01]  C=[1 0]  D=0

Remarques & Bonnes Pratiques

Dimensions matricielles : A doit être carrée (n×n). B doit avoir n lignes. C doit avoir n colonnes. D doit avoir le même nombre de lignes que C et le même nombre de colonnes que B. Des dimensions incompatibles produiront une erreur de simulation.
Entrées / sorties multiples (MIMO) : Connectez plusieurs signaux au port d'entrée pour les systèmes MIMO ; le bloc les empile dans le vecteur u selon l'ordre de connexion.
Stabilité : Le système est stable uniquement lorsque toutes les valeurs propres de A se situent strictement à l'intérieur du cercle unité. Une matrice A instable entraînera une divergence infinie de l'état.
États discrets : Le bloc alloue en interne jusqu'à 32 emplacements d'état discret ; maintenez l'ordre du système inférieur ou égal à 32.
Harmonisation de la période d'échantillonnage : Lors du mélange de ce bloc avec d'autres blocs discrets, réglez toutes les valeurs de sampleTime de manière cohérente ou insérez un bloc Rate Transition à la transition.

Composants Associés

RateTransition : À utiliser pour franchir les frontières de fréquence d'échantillonnage lors de la connexion à des sous-systèmes fonctionnant à une cadence différente.
TransferFunction : Équivalent en temps continu ; à utiliser pour la conception dans le domaine en s avant discrétisation.
Integrator : Accumulation d'état en temps continu ; à utiliser à la place de DiscreteStateSpace lorsque le solveur global gère l'intégration.