A-B-C-D

StateSpace

Continuous

Der StateSpace-Block implementiert ein allgemeines kontinuierliches lineares zeitinvariantes (LTI) Zustandsraummodell multivariabler dynamischer Systeme, beschrieben durch die Systemmatrizen $A, B, C, D$ :

x' = Ax + Bu    (Zustandsgleichung)
y  = Cx + Du    (Ausgangsgleichung)

Dies ist die allgemeinste mathematische Beschreibung von LTI-Systemen und bildet das Fundament der modernen Regelungstheorie, multivariabler MIMO-Systeme (Multiple Input Multiple Output), des Beobachterentwurfs (z. B. Kalman-Filter) und von Zustandsrückführungen (LQR/LQG).

Mathematisches Modell

\begin{aligned} \dot{x}(t) &= A \, x(t) + B \, u(t) \\ y(t) &= C \, x(t) + D \, u(t) \end{aligned}

Wobei:

$x(t) \in \mathbb{R}^n$ : Zustandsvektor ( $n$ interne Zustandsvariablen)
$u(t) \in \mathbb{R}^m$ : Eingangsvektor ( $m$ Eingänge)
$y(t) \in \mathbb{R}^p$ : Ausgangsvektor ( $p$ messbare Ausgänge)
$A$ : $n \times n$ Systemmatrix (Dynamikmatrix)
$B$ : $n \times m$ Eingangsmatrix (Steuermatrix)
$C$ : $p \times n$ Ausgangsmatrix (Beobachtungsmatrix)
$D$ : $p \times m$ Durchgriffsmatrix (Durchgangsmatrix)

Ein- & Ausgänge

Direction	ID	Label	Typ	Status
→ In	`u`	Input(s)	number	Required
→ In	`reset`	Reset	number	Optional
← Out	`y`	Output(s)	number	Output

Parameter

Parameter	Label	Typ	Standardwert
`A`	A Matrix (state)	matrix	`-1`
`B`	B Matrix (input)	matrix	`1`
`C`	C Matrix (output)	matrix	`1`
`D`	D Matrix (feedthrough)	vector	`0`
`initialState`	Initial State (comma-sep)	vector	`0`

Anwendungsbeispiele

Masse-Feder-Dämpfer-System

Modellierung mit Masse $m=1$ , Dämpfer $c=2$ , Feder $k=100$ :

Zustände: $x_1$ (Position), $x_2$ (Geschwindigkeit).

A: [0 1; -100 -2]
B: [0; 1]
C: [1 0]
D: 0

Krafteingang $F(t) \to \text{StateSpace} \to \text{Position } y(t)$ .

Hinweise & Best Practices

MIMO-Unterstützung: Vollständige Unterstützung mehrerer Ein- und Ausgänge.
Stabilität: Das System ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Matrix $A$ in der offenen linken komplexen Halbebene liegen ( $\text{Re}(\lambda_i) < 0$ ).
Konsistenz der Dimensionen: Die Dimensionen der Matrizen müssen strikt aufeinander abgestimmt sein ( $A: n\times n, B: n\times m, C: p\times n, D: p\times m$ ), andernfalls gibt der Block 0 aus.