小车倒立摆系统的建模与状态反馈控制

自由悬挂的单摆是平凡的：受推力扰动后，它会自然减幅摆动并最终回到最低静止位置。但如果将同一摆杆倒立竖立在一辆仅能水平移动的小车上，系统便构成了自动控制理论中最具启迪意义的经典力学模型。该系统无法依靠自身维持静止：一旦失去主动干预，摆杆将瞬间倾倒，且倾角越大倾倒加速度越剧烈。保持直立平衡的唯一途径，是通过实时快速驱动小车在水平导轨上来回跑动，“接住”正在下落的重力中心。

倒立摆汇聚了现代控制科学的几乎所有核心矛盾：开环本征不稳定系统、必须先于误差恶化提前响应的前馈预见机制、姿态微分阻尼与小车轨迹跟踪之间的动力学权衡，以及纯滞后（传输延迟）对闭环稳定裕度的严苛限制。

物理建模与结构参数

小车质量为 $M$ ，沿带有黏性摩擦 $b$ 的水平导轨运动。质量为 $m$ 的均匀刚性摆杆通过铰链约束在小车上，可在垂直平面内自由转动。控制推力 $u$ 水平作用于小车，是全系统唯一的执行机构控制量。摆杆倾角 $\theta$ 相对于向上垂直轴定义： $\theta = 0$ 对应理想竖直平衡状态，正角表示向右侧倾斜。

符号	物理含义	取值
$M$	小车质量	$0{,}5\ \text{kg}$
$m$	摆杆质量	$0{,}2\ \text{kg}$
$b$	小车黏性摩擦系数	$0{,}1\ \text{N}\cdot\text{s/m}$
$l$	铰链轴心至摆杆质心距离	$0{,}3\ \text{m}$
$I$	摆杆绕质心转动惯量	$\tfrac{1}{3}ml^2 = 0{,}006\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$
$g$	重力加速度	$9{,}81\ \text{m/s}^2$

动力学微分方程推导

将小车与摆杆分别进行受力隔离分析，铰链反力分解为水平分力 $N$ 与垂直分力 $P$ 。

小车沿导轨方向的牛顿第二定律方程为：

M\ddot{x} + b\dot{x} + N = u

摆杆质心的空间水平位移为 $x - l\sin\theta$ （ $\theta$ 为正时摆杆向后倾，即朝 $-x$ 方向）。对时间二次微分求得摆杆水平运动所需的合外力：

N = m\ddot{x} - ml\ddot{\theta}\cos\theta + ml\dot{\theta}^2\sin\theta

消去铰链水平内力 $N$ ，整理得到第一条动力学耦合方程：

(M + m)\ddot{x} + b\dot{x} - ml\ddot{\theta}\cos\theta + ml\dot{\theta}^2\sin\theta = u

针对摆杆绕其质心的角动量平衡定理（重力过质心力矩为零）：

(I + ml^2)\ddot{\theta} - mgl\sin\theta = ml\ddot{x}\cos\theta

此即两阶强非线性微分方程组。注意重力项的符号：由于 $\theta$ 从向上的竖直方向量起，把它移到右端得 $+mgl\sin\theta$ ，它把 $\ddot\theta$ 推向 $\theta$ 已经指向的方向——这正是系统倾倒而不是回摆的根源。

竖直平衡点小偏差线性化

在 $\theta = 0$ 附近作一阶泰勒展开， $\sin\theta \approx \theta$ ， $\cos\theta \approx 1$ ，二阶小量 $\dot{\theta}^2 \approx 0$ ：

(I + ml^2)\ddot{\theta} - mgl\theta = ml\ddot{x}

(M + m)\ddot{x} + b\dot{x} - ml\ddot{\theta} = u

进行拉普拉斯变换并消去小车位移 $X(s)$ ，推导出输入控制力到摆杆倾角的开环传递函数：

\frac{\Theta(s)}{U(s)} = \frac{\dfrac{ml}{q}\,s}{s^3 + \dfrac{b(I + ml^2)}{q}s^2 - \dfrac{(M+m)mgl}{q}s - \dfrac{bmgl}{q}}

其中等效耦合惯量 $q$ 为：

q = (M + m)(I + ml^2) - (ml)^2 = 0{,}0132

代入物理参数得到具体传递函数：

\frac{\Theta(s)}{U(s)} = \frac{4{,}54545\,s}{s^3 + 0{,}18182\,s^2 - 31{,}21364\,s - 4{,}45909}

系统开环极点分布在 $+5{,}568$ 、 $-5{,}607$ 和 $-0{,}143$ 。右半平面的实极点 $+5{,}568$ 决定了发散模态 $e^{5{,}568t}$ ：无控制状态下倾角每 0.12 秒即翻倍。

状态空间模型构建

计入小车位移，定义四维状态向量（小车位移 $x$ 、小车速度 $\dot{x}$ 、摆杆角 $\theta$ 、摆杆角速度 $\dot{\theta}$ ）：

\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + Bu,\qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x & \dot{x} & \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^\mathsf{T}

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{(I+ml^2)b}{q} & \dfrac{m^2gl^2}{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\dfrac{mlb}{q} & \dfrac{mgl(M+m)}{q} & 0 \end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} 0 \\ \dfrac{I+ml^2}{q} \\ 0 \\ \dfrac{ml}{q} \end{bmatrix}

全状态反馈控制（LQR）

采用状态全维反馈：

u = -K\,\begin{bmatrix} x - x_\text{ref} & \dot{x} & \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^\mathsf{T}

采用标准 LQR 最优权重矩阵（ $Q = \operatorname{diag}(5000, 0, 100, 0)$ ）计算得到的最优增益：

K = \begin{bmatrix} -70{,}7 & -37{,}8 & 105{,}6 & 20{,}9 \end{bmatrix}

能同时将极点配置到左半平面安全裕度区。当遭遇 1 N·s 瞬态脉冲冲击时，摆杆倾角峰值仅为 $5{,}4°$ 并迅速恢复平衡，小车同步回到原点。

传输延迟与临界稳定裕度

在存在执行器与总线延迟 $\tau_d$ 的工程系统中，开环在截止频率 $26{,}1\ \text{rad/s}$ 处具备 $61{,}3°$ 相位裕度，允许的极限纯时滞仅为 $\tau_\text{max} \approx 41\ \text{ms}$ 。当时滞增至 $50\ \text{ms}$ 时，系统将彻底失稳倾倒。

参阅相关组件

StateSpace：四状态矩阵状态空间物理模型。
Gain：LQR 状态反馈增益矩阵 $K$ 。
PIDController：仅基于角度测量的常规 PID 反馈。
Delay：总线与执行机构纯滞后环节。
Saturation：倒地物理硬限幅（ $\pm 90°$ ）。
uPlotDisplay：多通道实时示波器。