Inverses Pendel auf einem Wagen

Ein frei hängendes Pendel ist physikalisch unspektakulär: Ein Stoß regt es an, woraufhin es gedämpft in die Ruhelage zurückschwingt. Stellt man dasselbe Pendel jedoch aufrecht auf einen Wagen, der sich nur horizontal bewegen kann, entsteht das klassische Paradebeispiel der Regelungstechnik. Das System ist aus sich heraus instabil: Ohne Eingriff kippt der Stab um, und zwar umso schneller, je weiter er sich bereits geneigt hat. Die einzige Möglichkeit, ihn im aufrechten Gleichgewicht zu halten, besteht darin, den Wagen gezielt unter den fallenden Schwerpunkt zu fahren.

Dieses System vereint nahezu alle Kernherausforderungen der klassischen und modernen Regelungstheorie: Eine instabile Regelstrecke, Regler, die antizipieren müssen, bevor Regelfehler anwachsen, die fundamentale Trennung zwischen statischer Lageregelung und dynamischer Dämpfung sowie der Einfluss von Totzeiten und Aktorbegrenzungen.

Der physikalische Aufbau

Ein Wagen der Masse $M$ bewegt sich entlang einer horizontalen Schiene mit viskoser Reibung $b$ . Ein Pendelstab der Masse $m$ ist drehbar auf dem Wagen gelagert und kann in der vertikalen Ebene rotieren. Die Horizontalkraft $u$ greift am Wagen an und stellt die einzige Stellgröße dar. Der Auslenkwinkel $\theta$ wird gegenüber der aufrechten Vertikalen gemessen: $\theta = 0$ repräsentiert die labile Ruhelage, positive Werte bedeuten eine Neigung nach rechts.

Symbol	Bedeutung	Wert
$M$	Masse des Wagens	$0{,}5\ \text{kg}$
$m$	Masse des Pendelstabs	$0{,}2\ \text{kg}$
$b$	Reibungskoeffizient des Wagens	$0{,}1\ \text{N}\cdot\text{s/m}$
$l$	Abstand Drehpunkt zu Schwerpunkt	$0{,}3\ \text{m}$
$I$	Trägheitsmoment bezüglich Schwerpunkt	$\tfrac{1}{3}ml^2 = 0{,}006\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$
$g$	Erdbeschleunigung	$9{,}81\ \text{m/s}^2$

Bewegungsgleichungen

Betrachtet man Wagen und Pendelstab getrennt, übertragen sich an der Lagerstelle eine Horizontalkraft $N$ und eine Vertikalkraft $P$ .

Newtons zweites Axiom für den Wagen in horizontaler Richtung:

M\ddot{x} + b\dot{x} + N = u

Der Schwerpunkt des Stabes befindet sich horizontal bei $x - l\sin\theta$ (positives $\theta$ neigt den Stab nach hinten, Richtung $-x$ ). Zweimalige zeitliche Ableitung liefert die erforderliche Horizontalkraft auf das Pendel:

N = m\ddot{x} - ml\ddot{\theta}\cos\theta + ml\dot{\theta}^2\sin\theta

Einsetzen eliminiert die Zwangskraft $N$ und führt zur ersten gekoppelten Bewegungsgleichung:

(M + m)\ddot{x} + b\dot{x} - ml\ddot{\theta}\cos\theta + ml\dot{\theta}^2\sin\theta = u

Für die Rotationsdynamik bildet man den Drallsatz um den Schwerpunkt des Pendels:

(I + ml^2)\ddot{\theta} - mgl\sin\theta = ml\ddot{x}\cos\theta

Zwei gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Beachte das Vorzeichen des Gravitationsterms: Auf die rechte Seite gebracht lautet er $+mgl\sin\theta$ , da $\theta$ von oben gemessen wird; er treibt $\ddot\theta$ in die Richtung, in die $\theta$ bereits zeigt — genau das lässt das System umfallen statt zurückzuschwingen.

Linearisierung um die aufrechte Ruhelage

Für kleine Winkel um $\theta = 0$ gilt $\sin\theta \approx \theta$ , $\cos\theta \approx 1$ und $\dot{\theta}^2 \approx 0$ :

(I + ml^2)\ddot{\theta} - mgl\theta = ml\ddot{x}

(M + m)\ddot{x} + b\dot{x} - ml\ddot{\theta} = u

Mittels Laplace-Transformation und Elimination von $X(s)$ ergibt sich die Übertragungsfunktion von Stellkraft auf Neigungswinkel:

\frac{\Theta(s)}{U(s)} = \frac{\dfrac{ml}{q}\,s}{s^3 + \dfrac{b(I + ml^2)}{q}s^2 - \dfrac{(M+m)mgl}{q}s - \dfrac{bmgl}{q}}

mit der gekoppelten Trägheit $q$ :

q = (M + m)(I + ml^2) - (ml)^2 = 0{,}0132

Numerisch eingesetzt:

\frac{\Theta(s)}{U(s)} = \frac{4{,}54545\,s}{s^3 + 0{,}18182\,s^2 - 31{,}21364\,s - 4{,}45909}

Die Polstellen des offenen Regelkreises liegen bei $+5{,}568$ , $-5{,}607$ und $-0{,}143$ . Der reelle Pol in der rechten Halbebene ( $+5{,}568$ ) kennzeichnet die exponentielle Instabilität: Jede kleine Störung wächst wie $e^{5{,}568t}$ an (Verdopplungszeit der Auslenkung nur ca. 0,12 s).

Gesamtsystem im Zustandsraum

Bezieht man die Wagenposition mit ein, besitzt das linearisierte Gesamtsystem vier Zustandsgrößen (Position $x$ , Geschwindigkeit $\dot{x}$ , Winkel $\theta$ , Winkelgeschwindigkeit $\dot{\theta}$ ) und einen Eingang:

\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + Bu,\qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x & \dot{x} & \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^\mathsf{T}

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{(I+ml^2)b}{q} & \dfrac{m^2gl^2}{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\dfrac{mlb}{q} & \dfrac{mgl(M+m)}{q} & 0 \end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} 0 \\ \dfrac{I+ml^2}{q} \\ 0 \\ \dfrac{ml}{q} \end{bmatrix}

Die Eigenwerte von $A$ umfassen die drei obigen Pole plus einen Integratorpol bei $s = 0$ für die Wagenposition.

Modellierung in BlockWerk

Die Strecke wird als einzelner StateSpace-Block abgebildet. Sämtliche Matrixeinträge sind als analytische Formeln hinterlegt, sodass Parameteränderungen an Schiebereglern (z. B. Wagenmasse $M$ ) die Matrizen zur Laufzeit im WASM-Kern rekonfigurieren. Vier Zustandsausgänge werden über Rückführverstärkungen (Gain) zum Stellsignal aufgeschaltet.

Zustandsrückführung (LQR)

Durch Rückführung aller vier Zustände:

u = -K\,\begin{bmatrix} x - x_\text{ref} & \dot{x} & \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^\mathsf{T}

mit der optimalen LQR-Verstärkungsmatrix ( $Q = \operatorname{diag}(5000, 0, 100, 0)$ ):

K = \begin{bmatrix} -70{,}7 & -37{,}8 & 105{,}6 & 20{,}9 \end{bmatrix}

wird das Gesamtsystem asymptotisch stabilisiert. Nach einer Kraftstörung kehrt das Pendel mit maximal $5{,}4°$ Auslenkung schnell in die Senkrechte zurück und der Wagen fährt präzise zur Ursprungsposition.

Transportverzögerung und Stabilität

Reale Regler besitzen Totzeiten (Abtastung, Filter, Buskommunikation). Bei einer Schleifenverstärkung mit $61{,}3°$ Phasenrand bei $26{,}1\ \text{rad/s}$ beträgt die maximale Totzeitmarge $\tau_\text{max} \approx 41\ \text{ms}$ . Bei $50\ \text{ms}$ Totzeit kippt der Pendelstab um.

Siehe auch

StateSpace: 4-Zustands-Repräsentation der instabilen Regelstrecke.
Gain: Zustandsrückführungsmatrix $K$ .
PIDController: Klassische Winkelregelung.
Delay: Totzeitglied zur Analyse der Phasenreserve.
Saturation: Winkelanschlag bei $\pm 90°$ .
uPlotDisplay: Mehrkanal-Oszilloskop für Winkel, Position und Stellkraft.