Péndulo Invertido sobre un Carro

Un péndulo suspendido hacia abajo es un sistema dócil y predecible: un empujón lo perturba y oscila hasta detenerse. Pero colocar ese mismo péndulo en posición vertical sobre un carro que solo puede desplazarse horizontalmente da lugar al problema pedagógico por excelencia de la ingeniería de control. El sistema no puede mantenerse en reposo por sí solo: abandonado a su suerte cae inexorablemente, y cae tanto más rápido cuanto mayor es su inclinación. El único modo de conservarlo en pie consiste en desplazar el carro aceleradamente debajo de él para recuperar su centro de gravedad.

Este caso de estudio condensa los grandes desafíos del control clásico y moderno: una planta inestable en lazo abierto, controladores que deben anticiparse antes de que el error crezca, la crucial distinción entre control estático de posición y amortiguamiento dinámico de actitud, y el severo impacto de los retardos de transporte.

Configuración física

Un carro de masa $M$ se desplaza sobre una guía horizontal con rozamiento viscoso $b$ . Una varilla rígida de masa $m$ se articula al carro mediante una junta de pivote en el plano vertical. La fuerza $u$ aplicada sobre el carro es la única entrada de control disponible. El ángulo $\theta$ se mide respecto a la vertical ascendente: $\theta = 0$ representa el equilibrio inestable, y un valor positivo denota inclinación hacia la derecha.

Símbolo	Significado	Valor
$M$	Masa del carro	$0{,}5\ \text{kg}$
$m$	Masa del péndulo	$0{,}2\ \text{kg}$
$b$	Coeficiente de fricción viscosa	$0{,}1\ \text{N}\cdot\text{s/m}$
$l$	Distancia del pivote al centro de gravedad	$0{,}3\ \text{m}$
$I$	Momento de inercia baricéntrico	$\tfrac{1}{3}ml^2 = 0{,}006\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$
$g$	Aceleración de la gravedad	$9{,}81\ \text{m/s}^2$

Ecuaciones de movimiento

Descomponiendo las fuerzas en el pasador entre carro y péndulo en componente horizontal $N$ y vertical $P$ :

Segunda ley de Newton para el carro en la dirección del movimiento:

M\ddot{x} + b\dot{x} + N = u

La coordenada horizontal del centro de gravedad del péndulo es $x - l\sin\theta$ ( $\theta$ positivo inclina el péndulo hacia atrás, hacia $-x$ ). Derivando dos veces respecto al tiempo:

N = m\ddot{x} - ml\ddot{\theta}\cos\theta + ml\dot{\theta}^2\sin\theta

Sustituyendo $N$ se obtiene la primera ecuación diferencial acoplada:

(M + m)\ddot{x} + b\dot{x} - ml\ddot{\theta}\cos\theta + ml\dot{\theta}^2\sin\theta = u

Para la rotación del péndulo, aplicando balance de momento angular en torno a su centro de gravedad:

(I + ml^2)\ddot{\theta} - mgl\sin\theta = ml\ddot{x}\cos\theta

Dos ecuaciones no lineales acopladas. Fíjate en el signo del término de gravedad: pasado al segundo miembro vale $+mgl\sin\theta$ porque $\theta$ se mide desde la vertical ascendente; empuja $\ddot\theta$ hacia donde ya apunta $\theta$ , y eso es justo lo que hace que el sistema vuelque en lugar de restituir el equilibrio.

Linealización en torno al equilibrio vertical

Para pequeñas desviaciones alrededor de $\theta = 0$ , $\sin\theta \approx \theta$ , $\cos\theta \approx 1$ y $\dot{\theta}^2 \approx 0$ :

(I + ml^2)\ddot{\theta} - mgl\theta = ml\ddot{x}

(M + m)\ddot{x} + b\dot{x} - ml\ddot{\theta} = u

Aplicando la transformada de Laplace y eliminando $X(s)$ se obtiene la función de transferencia entre fuerza y ángulo del péndulo:

\frac{\Theta(s)}{U(s)} = \frac{\dfrac{ml}{q}\,s}{s^3 + \dfrac{b(I + ml^2)}{q}s^2 - \dfrac{(M+m)mgl}{q}s - \dfrac{bmgl}{q}}

con la inercia acoplada $q$ :

q = (M + m)(I + ml^2) - (ml)^2 = 0{,}0132

Sustituyendo los valores numéricos:

\frac{\Theta(s)}{U(s)} = \frac{4{,}54545\,s}{s^3 + 0{,}18182\,s^2 - 31{,}21364\,s - 4{,}45909}

Los polos en lazo abierto se sitúan en $+5{,}568$ , $-5{,}607$ y $-0{,}143$ . El polo real en el semiplano derecho ( $+5{,}568$ ) revela la divergencia exponencial: cualquier perturbación infinitesimal crece como $e^{5{,}568t}$ (el ángulo se duplica cada 0.12 s).

Modelo en espacio de estados

Incorporando la posición del carro, el sistema linealizado cuenta con cuatro variables de estado (posición $x$ , velocidad $\dot{x}$ , ángulo $\theta$ , velocidad angular $\dot{\theta}$ ) y una entrada de control:

\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + Bu,\qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x & \dot{x} & \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^\mathsf{T}

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{(I+ml^2)b}{q} & \dfrac{m^2gl^2}{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\dfrac{mlb}{q} & \dfrac{mgl(M+m)}{q} & 0 \end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} 0 \\ \dfrac{I+ml^2}{q} \\ 0 \\ \dfrac{ml}{q} \end{bmatrix}

Realimentación de estados (LQR)

La realimentación completa de los cuatro estados:

u = -K\,\begin{bmatrix} x - x_\text{ref} & \dot{x} & \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^\mathsf{T}

empleando las ganancias óptimas LQR ( $Q = \operatorname{diag}(5000, 0, 100, 0)$ ):

K = \begin{bmatrix} -70{,}7 & -37{,}8 & 105{,}6 & 20{,}9 \end{bmatrix}

estabiliza asintóticamente la planta. Ante un pulso de perturbación externa, el péndulo apenas oscila $5{,}4°$ antes de volver a la vertical mientras el carro retorna suavemente a su posición nominal.

Margen de retardo y límites de estabilidad

Con un retardo de transporte físico $\tau_d$ en la cadena de actuación, el margen de fase de $61{,}3°$ a $26{,}1\ \text{rad/s}$ delimita un retardo máximo admisible de $\tau_\text{max} \approx 41\ \text{ms}$ . Con $50\ \text{ms}$ de retardo, el lazo cerrado pierde estabilidad y la barra cae.

Véase también

StateSpace: Modelo en variables de estado de 4 dimensiones.
Gain: Ganancias de la matriz de realimentación $K$ .
PIDController: Control clásico enfocado en el ángulo.
Delay: Retardo puro de transporte.
Saturation: Límite mecánico de caída a $\pm 90°$ .
uPlotDisplay: Osciloscopio multicanal en tiempo real.