Éolienne Offshore Flottante : Amortissement Actif de la Houle

Les éoliennes en mer flottantes (Floating Offshore Wind Turbines, FOWT) constituent la nouvelle frontière des énergies renouvelables en eaux profondes. Contrairement aux fondations posées sur les fonds marins peu profonds (< 50 m), les flotteurs de type spar-buoy comme le modèle de référence NREL OC3-Hywind opèrent à des profondeurs de 100 à plus de 300 mètres.

Si le large offre des vents plus soutenus et réguliers, il impose des défis dynamiques considérables. Un flotteur spar-buoy se comporte en tangage (rotation $\theta$ ) comme un gigantesque pendule immergé. L'amortissement par rayonnement hydrodynamique de l'eau de mer étant minime ( $\zeta \approx 0{,}03$ ), l'excitation par la houle à proximité de la résonance provoque des oscillations de rotation cumulatives qui menacent l'intégrité de la structure.

Cette étude de cas explore l'amortissement actif des vagues à l'aide d'un modèle de tangage à 1 degré de liberté (1-DOF), démontre l'échec d'un régulateur PD classique et illustre comment un filtre coupe-bande (notch filter) d'ordre 2 résout le conflit de fréquences.

La configuration physique

Le flotteur est modélisé d'après le concept NREL OC3-Hywind. En tangage (mode 5 en architecture navale), la dynamique est régie par l'équilibre de rotation de Newton-Euler :

I_{\text{tot}} \ddot{\theta} + B_{55} \dot{\theta} + C_{55} \theta = M_{\text{wave}} - M_{\text{ctrl}}

Paramètre	Signification	Valeur de référence
$I_{55}$	Moment d'inertie structurel en tangage	$5{,}00 \times 10^{10}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$
$A_{55}$	Masse ajoutée hydrodynamique (eau entraînée)	$1{,}70 \times 10^{10}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$
$I_{\text{tot}}$	Inertie virtuelle totale ( $I_{55} + A_{55}$ )	$6{,}70 \times 10^{10}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$
$B_{55}$	Amortissement par radiation hydrodynamique	$8{,}65 \times 10^8\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s/rad}$
$C_{55}$	Raideur hydrostatique de rappel	$3{,}111 \times 10^9\ \text{N}\cdot\text{m/rad}$
$f_n$	Fréquence propre de résonance en tangage	$0{,}0343\ \text{Hz}\ (\omega_n = 0{,}2155\ \text{rad/s},\ T_n \approx 29{,}2\ \text{s})$
$\zeta$	Taux d'amortissement en boucle ouverte	$\approx 0{,}03$ ( $Q \approx 16{,}7$ , pic de résonance $+24{,}5\ \text{dB}$ )

Les degrés de liberté (convention "55")

En architecture navale et hydrodynamique maritime, tout corps flottant présente 6 degrés de liberté standards :

Cavalement / Surge (translation longitudinale)
Embardée / Sway (translation transversale)
Pilonnement / Heave (translation verticale)
Roulis / Roll (rotation autour de l'axe longitudinal)
Tangage / Pitch (rotation autour de l'axe transversal)
Lacet / Yaw (rotation autour de l'axe vertical)

L'indice $55$ désigne la réaction en tangage (5) induite par le mouvement de tangage (5).

Fonction de transfert et séparation spectrale

La fonction de transfert en boucle ouverte entre couple total et angle de tangage $\theta$ s'écrit :

G(s) = \frac{\Theta(s)}{M(s)} = \frac{1}{I_{\text{tot}} s^2 + B_{55} s + C_{55}}

Dans le domaine fréquentiel :

La résonance structurelle de la spar se situe à $\omega_n = 0{,}2155\ \text{rad/s}$ ( $f_n = 0{,}0343\ \text{Hz}$ ).
La houle océanique dominante se concentre autour de $f_p \approx 0{,}10\ \text{Hz}$ ( $\omega_p = 0{,}628\ \text{rad/s}$ , période $T_p \approx 10\ \text{s}$ ).

La fréquence de la houle étant près de trois fois supérieure à la résonance du flotteur ( $\omega_p / \omega_n \approx 2{,}91$ ), il existe une séparation fréquentielle nette :

La résonance structurelle est basse fréquence ( $0{,}034\ \text{Hz}$ ).
L'excitation de la houle est plus haute en fréquence ( $0{,}10\ \text{Hz}$ ).

Pourquoi un régulateur PD naïf échoue

Un régulateur PD utilise une action dérivée ( $K_d s$ ). Le gain dérivé croît à raison de $+20\ \text{dB/décade}$ avec la fréquence :

|K_d \cdot j\omega| = K_d \cdot \omega

À la fréquence de la houle ( $0{,}10\ \text{Hz}$ ), le terme dérivé répond à chaque radian d'inclinaison due aux vagues par $\sqrt{K_p^2 + (K_d\omega)^2} \approx 561\ \text{MN}\cdot\text{m}/\text{rad}$ de contre-couple, alors que les vagues ne sont pas ce qu'il doit amortir. Avec les vagues de cette leçon ( $20\ \text{MN}\cdot\text{m}$ ), le couple de pointe n'est que d'environ $1{,}25\ \text{MN}\cdot\text{m}$ — $2{,}5\%$ de la limite de $\pm 50\ \text{MN}\cdot\text{m}$ , qui ne serait atteinte que pour une inclinaison d'environ $5{,}1^\circ$ à la fréquence de houle. Presque tout cet effort est dépensé à la fréquence de houle, où il ne sert à rien pour la résonance ; le PD fait toutefois passer l'amortissement de résonance de $\zeta = 0{,}030$ à environ $0{,}054$ .

Amortissement actif par filtre coupe-bande

La solution consiste à insérer un filtre coupe-bande d'ordre 2 (notch filter) $N(s)$ calé sur la fréquence de houle ( $f_0 = 0{,}10\ \text{Hz}$ ) dans la boucle de retour :

N(s) = \frac{s^2 + \omega_0^2}{s^2 + 2\zeta_n \omega_0 s + \omega_0^2} \quad \text{avec } \omega_0 = 2\pi f_0

À la fréquence de la houle ( $s = j\omega_0$ ), le numérateur s'annule strictement :

|N(j\omega_0)| = 0 \quad (\text{atténuation } -\infty\ \text{dB})

Le filtre rend le régulateur insensible au mouvement de premier ordre des vagues, laissant le flotteur suivre docilement les crêtes : dans cette leçon, le couple de pointe et l'énergie dissipée chutent d'environ 70 %. Ce n'est pas gratuit : à la résonance de la structure ( $0{,}034\ \text{Hz}$ ), $|N| \approx 0{,}93$ mais le filtre retarde le retour de $21^\circ$ , de sorte que l'amortissement ajouté par le PD diminue d'environ 70 % (en boucle fermée $\zeta \approx 0{,}037$ avec notch, $0{,}054$ sans, $0{,}030$ en boucle ouverte).

Limites du modèle et contexte visuel

Cette leçon modélise le tangage découplé (modèle spar-buoy 1-DOF). Le rotor, les lignes d'ancrage et la surface de la mer procurent un contexte physique visuel pour guider l'intuition sans alourdir la démonstration didactique.

Voir aussi

StateSpace : Modèle d'état compact à 2 variables pour le flotteur.
TransferFunction : Réalisation du filtre coupe-bande d'ordre 2.
Integrator : Chaîne d'intégration de l'accélération angulaire à l'angle de tangage.
Saturation : Limitation physique du couple des actionneurs.
BodePlot : Visualisation du creux coupe-bande dans le plan fréquentiel.
uPlotDisplay : Télémétrie en temps réel pour l'angle, la vitesse angulaire et le couple.