Gestion de Batterie : Estimation de l'État de Charge (SOC)

Un système de gestion de batterie (Battery Management System, BMS) ne dispose que de deux mesures directes sur chaque cellule : le courant qui la traverse et sa tension aux bornes. Ni l'une ni l'autre ne fournit directement l'état de charge (State of Charge, SOC). L'intégration du courant (comptage de coulombs) ne reflète la charge réelle que si le capteur est d'une fidélité absolue — ce qui n'est jamais le cas en pratique. La tension renseigne bien sur la charge, mais au travers d'une courbe non linéaire dont la pente varie considérablement.

Cette étude de cas conçoit l'estimateur d'état mis en œuvre dans les BMS industriels : un filtre de Kalman étendu (Extended Kalman Filter, EKF) qui fusionne en continu les deux signaux, identifie en ligne l'offset du capteur de courant et délivre l'estimation du SOC assortie de son incertitude statistique.

Modélisation de la cellule

Une cellule lithium-ion 18650 est modélisée par un circuit équivalent de Thévenin : une résistance ohmique interne, une branche RC de polarisation et une tension en circuit ouvert dépendant de la charge.

V = V_{OC}(SOC) - V_1 - R_0 I \qquad \frac{dSOC}{dt} = -\frac{I}{3600\,Q_{cap}}, \qquad \frac{dV_1}{dt} = -\frac{V_1}{\tau} + \frac{I}{C_1}

Paramètre	Signification	Valeur
$Q_{cap}$	Capacité nominale	$3{,}20\ \text{Ah}$
$R_0$	Résistance ohmique	$0{,}05\ \Omega$
$R_1$	Résistance de polarisation	$0{,}02\ \Omega$
$C_1$	Capacité de polarisation	$1000\ \text{F}$
$\tau = R_1C_1$	Constante de temps de polarisation	$20\ \text{s}$

Le système comporte deux variables d'état : la tension de polarisation $V_1$ , rapide et observable à la relaxation, et l'état de charge SOC, grandeur interne non directement accessible.

Les limites du comptage coulombien

Intégrer le courant, diviser par la capacité et soustraire de la charge initiale : cette approche sans modèle paraît idéale au premier abord.

Le piège réside dans le fait que tout décalage d'offset $\delta I$ du capteur s'intègre temporellement sous forme d'une perte ou d'un gain fictif de charge :

\frac{d\,SOC_{err}}{dt} = \frac{\delta I}{3600\,Q_{cap}}

La vitesse de dérive dépend de l'offset absolu $\delta I$ en ampères, et non du courant de charge.

Courant	Erreur capteur	$\delta I$	Dérive horaire
2 A	2 %	0{,}04 A	1{,}25 % / h
10 A	2 %	0{,}20 A	6{,}25 % / h
10 A	5 %	0{,}50 A	15{,}6 % / h
2 A	10 %	0{,}20 A	6{,}25 % / h
10 A	10 %	1{,}00 A	31{,}3 % / h

Un offset fixe de 0,20 A génère 6,25 % de dérive horaire qu'il s'agisse d'un courant de 2 A ou de 10 A. Cette dérive linéaire constante est masquée sur une jauge globale 0…100 % jusqu'à la panne sèche. D'où la nécessité absolue d'un deuxième avis indépendant : la mesure de tension.

Ce que révèle la tension en circuit ouvert (OCV)

À l'arrêt du courant de charge ou de décharge, la tension de polarisation se dissipe. La tension résiduelle aux bornes devient la tension en circuit ouvert (OCV) :

V = V_{OC}(SOC)

Cette relation est fortement non linéaire :

Plage de SOC	$\partial V_{OC}/\partial SOC$	Sensibilité par rapport au plateau
0–10 %	5{,}00 V / unité de charge	8{,}3×
10–20 %	1{,}50	2{,}5×
20–90 %	0{,}60 – 0{,}90	Zone de plateau
90–100 %	0{,}60	1{,}0×

Dans les zones raides (faible charge), 10 % de SOC correspondent à 500 mV d'écart, tandis que sur le plateau central, la même variation ne produit que 60 mV. La pente locale régit directement l'observabilité du système.

Le Filtre de Kalman Étendu (EKF)

Un filtre linéaire classique linéarisé autour d'un point fixe commet de lourdes erreurs de biais lorsque l'état s'éloigne du point d'étude. Le filtre de Kalman étendu relinéarise la courbe à chaque échantillon autour de l'état estimé courant :

H = \left[\left.\frac{\partial V_{OC}}{\partial SOC}\right|_{SOC_{hat}},\; -1\right]

L'EKF ajuste ainsi sa matrice d'observation dynamiquement et supprime tout biais systématique sur l'ensemble de la plage opérationnelle de 5 % à 95 % de SOC.

Réglage des matrices de bruit

$Q$ représente les incertitudes non modélisées (effets thermiques, vieillissement, dispersion électrochimique). $R$ quantifie le bruit de mesure de tension. Le gain de Kalman opère un compromis optimal : augmenter $R$ lisse l'estimation mais ralentit la convergence, tandis qu'abaisser $R$ privilégie la fidélité immédiate à la mesure de tension.

Voir aussi

BatterySocEkf : Bloc d'estimation EKF pour cellules lithium avec table OCV et compensation de biais.
KalmanFilter : Filtre de Kalman stationnaire pour systèmes linéaires.
LookupTable : Table d'interpolation numérique.
uPlotDisplay : Oscilloscope multivoie affichant le SOC et les bandes d'incertitude.